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无穷小的概念及性质在数学中，无穷小是一个非常重要的概念，尤其在微积分学中。无穷小是趋于0的变量，但与0有所不同。具体来说，无穷小是一个以0为极限的变量。设...

无穷小的概念及性质在数学中，无穷小是一个非常重要的概念，尤其在微积分学中。无穷小是趋于0的变量，但与0有所不同。具体来说，无穷小是一个以0为极限的变量。设α是一个非零实数，若lim(x→x0)α(x-x0)=0，则称α(x)在x=x0处为无穷小。无穷小的性质主要有以下几点：无穷小是函数其定义域是一定的，且值域只有一个，即0无穷小是一种特殊的函数其导函数可能存在，也可能不存在无穷小是一个变量其值只能无限接近0，但永远不能等于0怎样区别无穷小无穷小是一个趋于0的变量，但并不是所有的0都是无穷小。比如常数0就不是无穷小。因此，无穷小需要满足一定的条件：无穷小需要是一个变量而常数不是无穷小需要满足lim(x→x0)α(x-x0)=0即当x趋于x0时，α(x-x0)的值无限接近0无穷小在某一点的极限值必须为0不能在这一点上等于其他值无穷小的比较不同的无穷小之间可以进行比较。如果两个无穷小的极限值相等，则它们是等价无穷小。例如，当x→0时，lim(x→0)(sin x-x)/x=lim(x→0)(cos x-1)=0，因此sin x和x是等价无穷小。等价无穷小之间可以进行加、减、乘运算，但是不能进行除运算。这是因为在除法运算中，高阶无穷小会变为低阶无穷小，导致结果无法收敛。高阶，低阶，同阶，等阶无穷小的定义及判定在比较无穷小时，我们引入了高阶、低阶、同阶和等阶的概念。高阶无穷小设α(x)和β(x)都是无穷小，且lim(x→x0)[α(x)/β(x)]=0，则称α(x)是β(x)的高阶无穷小。例如，当x→0时，sin x是x的高阶无穷小低阶无穷小设α(x)和β(x)都是无穷小，且lim(x→x0)[β(x)/α(x)]=0，则称β(x)是α(x)的低阶无穷小。例如，当x→0时，1是sin x的低阶无穷小同阶无穷小设α(x)和β(x)都是无穷小，且lim(x→x0)[α(x)/β(x)]=c(c≠0)，则称α(x)和β(x)是同阶无穷小。例如，当x→0时，sin x和tan x是同阶无穷小等阶无穷小设α(x)和β(x)都是无穷小，且lim(x→x0)[α(x)/β(x)]=1，则称α(x)和β(x)是等阶无穷小。例如，当x→0时，e^(-x^2)和1是等阶无穷小利用等价无穷小计算极限在计算极限时，等价无穷小是一种非常有用的工具。下面以一个例子来说明如何利用等价无穷小计算极限：