函数极值概念，相关定理，对应例题PPT

函数极值的概念首先，我们需要明确什么是函数极值。在数学中，一个函数的极值是指该函数在某一区间内的局部最大值或局部最小值。换句话说，极值是函数在某一特定点邻...

函数极值的概念首先，我们需要明确什么是函数极值。在数学中，一个函数的极值是指该函数在某一区间内的局部最大值或局部最小值。换句话说，极值是函数在某一特定点邻域内的最大值或最小值。如果函数在某一点的切线斜率为0（即函数在该点一阶导数为0），并且在该点的左右邻域内函数值单调性相反（即函数在该点二阶导数异号），则该点为函数的局部极值点。如果一个函数在某个区间内的所有局部极值点中，有一个是所有这些点中最大的（或最小的），则该点为函数在该区间内的全局最大值（或全局最小值）。注意，一个函数可能有一个或多个全局极值点，也可能没有全局极值点。判断极值的定理要判断一个函数是否具有极值，需要使用以下两个定理：如果函数f(x)在点x0处可导，且在x0处取得极值，那么f'(x0) = 0。即极值点处的一阶导数为0。但请注意，一阶导数为0的点并不一定是极值点。如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在区间(a,b)上可导，且f'(a)与f'(b)异号，那么函数f(x)在区间(a,b)内至少存在一点ξ使得f'(ξ) = 0。这个定理告诉我们，当函数的一阶导数在该区间内从正变为负（或从负变为正）时，函数在该区间内一定存在极值点。常见求极值的例题例1：求函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5在[-2,10]上的最大值和最小值。解：首先对函数进行求导得f'(x) = 3x^2 - 6x - 9，接下来我们找到可能存在极值点的点，即f'(x) = 0的点，解得x1 = -1，x2 = 3。再进一步检查，发现f''(x) = 6x - 6，在x1和x2处均满足f''(x1)和f''(x2)异号，因此-1和3都是函数的极值点。在[-2,10]上找到这三个点中的最大和最小值得：最大值为f(-1) = 11, 最小值为f(3) = -23。例2：求函数f(x) = x^4 - 8x^3 + 18x^2在[0,10]上的最大值和最小值。解：首先对函数进行求导得f'(x) = 4x^3 - 24x^2 + 36x，令f'(x) = 0解得可能的极值点为x1 = 0，x2 = 3。再进一步检查，当x2为极小值点，x1为极大值点，所以原函数的最小值为f(3) = 9，最大值为f(0)和f(10)中的较大者，即max{f(0), f(10)} = 875。