椭圆的简单几何性质PPT
首先让我们来定义椭圆。椭圆是一种圆锥曲线，它是平面上的一个动点$P$到两个定点$F_1$和$F_2$的距离之和等于常数$2a$（$a$为大于$F_1，F_...
首先让我们来定义椭圆。椭圆是一种圆锥曲线，它是平面上的一个动点$P$到两个定点$F_1$和$F_2$的距离之和等于常数$2a$（$a$为大于$F_1，F_2$的定值）的轨迹。这两个定点称为椭圆的焦点，常数$2a$称为椭圆的焦距。根据定义，一个椭圆可以写成下列数学公式：$$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$其中，$a$称为椭圆的长半轴，$b$称为椭圆的短半轴。椭圆的几何性质椭圆的形状和大小完全由它的焦点和长半轴$、$短半轴$a$和$b$决定。长半轴$a$和短半轴$b$的关系可以表示为：$a^{2} = b^{2} + c^{2}$，其中$c^{2}$是两个焦点间的距离（即：半焦距）。当$a$不变$b$增大时，椭圆变得更“扁”，即长轴增大，短轴减小当$b$不变$a$增大时，椭圆变得更“圆”，即长轴增大，短轴也增大椭圆是关于其长轴和短轴的镜像对称的。横坐标关于短轴对称$(x,y)$和$(x,-y)$代表同一点纵坐标关于长轴对称(x,y)和(-x,y)代表同一点椭圆与坐标轴的交点称为顶点。长轴与x轴的交点为(±a,0)，短轴与y轴的交点为(0,±b)。位于x轴的顶点A1(–a0)，A2(a,0)位于y轴的顶点B1(0b)，B2(0,-b)当一个圆锥的轴截面是等腰直角三角形时，这个圆锥的顶点就是椭圆的焦点。在椭圆中，这两个焦点通常标记为$F_1(–c,0)$和$F_2(c,0)$，而焦距就是两个焦点间的距离，即：2c。连接椭圆上的一个点到两个焦点的线段长度相等，这个长度称为这个点的焦点半径，而这个长度等于椭圆的长半轴减去这个点到两个焦点的距离之差。也可以表示为：对于椭圆上任意一点$P(x,y)$： PF₁ = a– ex PF₂ = a+ ex 其中e是离心率，e= \frac{c}{a}PF_{1} = a - exPF_{2} = a + ex其中e是离心率，e=\frac{c}{a}PF_{1}=a−exePF_{2}=a+exe其中e是离心率，e=⎣法人⎦其中对于焦点半径，有以下的性质：如果P在短轴的顶点上（即y=±b），那么它的焦点半径就是长半轴减去短半轴（即：PF₁=a–cPF₂=a+cPF_{1}=a−cPF_{2}=a+c）如果P在长轴的顶点上（即x=±a），那么它的焦点半径就是短半轴减去长半轴的一半（即：PF₁=b–cPF₂=b+cPF_{1}=b−cPF_{2}=b+c）如果P在椭圆上任意一点（既不在长轴上也不在短轴上）那么它的焦点半径就是长半轴减去这个点到最近焦点的距离之差的一半（即：PF₁=(a–ex)⁄2PF₂=(a+ex)⁄2PF_{1}=(a−exe)⁄2PF_{2}=(a+exe)⁄2）
