复合函数求导例题PPT
复合函数求导是微积分中的一个重要概念，它涉及到两个或多个函数的组合，并通过链式法则进行求导。下面将通过一系列例题来详细解释复合函数求导的方法和步骤。例题1...
复合函数求导是微积分中的一个重要概念，它涉及到两个或多个函数的组合，并通过链式法则进行求导。下面将通过一系列例题来详细解释复合函数求导的方法和步骤。例题1求函数 $y = \sin(x^2)$ 的导数。解：首先，令 $u = x^2$，则 $y = \sin u$。对 $u$ 求导，得到 $u' = 2x$。对 $y$ 求导，由于 $y$ 是 $u$ 的函数，根据链式法则，有 $y' = \cos u \cdot u'$。将 $u$ 和 $u'$ 的值代入，得到 $y' = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$。例题2求函数 $y = \ln(\cos x)$ 的导数。解：令 $u = \cos x$，则 $y = \ln u$。对 $u$ 求导，得到 $u' = -\sin x$。对 $y$ 求导，由于 $y$ 是 $u$ 的函数，根据链式法则，有 $y' = \frac{1}{u} \cdot u'$。将 $u$ 和 $u'$ 的值代入，得到 $y' = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{\cos x} = -\tan x$。例题3求函数 $y = e^{\sin x}$ 的导数。解：令 $u = \sin x$，则 $y = e^u$。对 $u$ 求导，得到 $u' = \cos x$。对 $y$ 求导，由于 $y$ 是 $u$ 的函数，根据链式法则，有 $y' = e^u \cdot u'$。将 $u$ 和 $u'$ 的值代入，得到 $y' = e^{\sin x} \cdot \cos x$。例题4求函数 $y = \tan(x^3)$ 的导数。解：首先，令 $u = x^3$，则 $y = \tan u$。对 $u$ 求导，得到 $u' = 3x^2$。对 $y$ 求导，由于 $y$ 是 $u$ 的函数，根据链式法则，有 $y' = \sec^2 u \cdot u'$。将 $u$ 和 $u'$ 的值代入，得到 $y' = \sec^2(x^3) \cdot 3x^2 = 3x^2\sec^2(x^3)$。例题5求函数 $y = \sqrt{\ln(x^2 + 1)}$ 的导数。解：令 $u = x^2 + 1$，则 $v = \ln u$，最终 $y = \sqrt{v}$。对 $u$ 求导，得到 $u' = 2x$。对 $v$ 求导，得到 $v' = \frac{1}{u}$。对 $y$ 求导，得到 $y' = \frac{1}{2\sqrt{v}}$。根据链式法则，有 $y' = \frac{1}{2\sqrt{\ln(x^2 + 1)}} \cdot \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{x}{(x^2 + 1)\sqrt{\ln(x^2 + 1)}}$。例题6求函数 $y = \frac{\sin(2x)}{\cos(3x)}$ 的导数。解：使用商式求导法则，$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$。令 $u = \sin(2x)$，$v = \cos(3x)$。对 $u$ 求导，得到 $u' = 2\cos(2x)$。对 $v$ 求导，得到 $v' = -3\sin(3x)$。代入商式求导法则，得到 $y' = \frac{2\cos(2x)\cos(3x) - \sin(2x)(-3\sin(3x))}{\例题7求函数 $y = \frac{e^x}{\sqrt{x}}$ 的导数。解：使用商式求导法则，$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$。令 $u = e^x$，$v = \sqrt{x}$。对 $u$ 求导，得到 $u' = e^x$。对 $v$ 求导，使用幂函数求导法则，得到 $v' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$。代入商式求导法则，得到 $y' = \frac{e^x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - e^x \cdot (-\frac{1}{2x\sqrt{x}})}{\sqrt{x}^2} = \frac{e^x(x + 1)}{2x\sqrt{x}}$。例题8求函数 $y = \frac{\ln x}{x^2}$ 的导数。解：使用商式求导法则，$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$。令 $u = \ln x$，$v = x^2$。对 $u$ 求导，得到 $u' = \frac{1}{x}$。对 $v$ 求导，使用幂函数求导法则，得到 $v' = 2x$。代入商式求导法则，得到 $y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \ln x \cdot 2x}{x^4} = \frac{1 - 2x\ln x}{x^3}$。例题9求函数 $y = (\sin x)^3$ 的导数。解：使用链式法则和幂函数求导法则。令 $u = \sin x$，则 $y = u^3$。对 $u$ 求导，得到 $u' = \cos x$。对 $y$ 求导，得到 $y' = 3u^2 \cdot u'$。将 $u$ 和 $u'$ 的值代入，得到 $y' = 3(\sin x)^2 \cdot \cos x$。例题10求函数 $y = \sqrt{\cos(x^2)}$ 的导数。解：使用链式法则和幂函数求导法则。令 $u = x^2$，则 $v = \cos u$，最终 $y = \sqrt{v}$。对 $u$ 求导，得到 $u' = 2x$。对 $v$ 求导，得到 $v' = -\sin u$。对 $y$ 求导，得到 $y' = \frac{1}{2\sqrt{v}} \cdot v'$。根据链式法则，有 $y' = \frac{1}{2\sqrt{\cos(x^2)}} \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = -\frac{x\sin(x^2)}{\sqrt{\cos(x^2)}}$。以上就是通过一系列例题来详细解释复合函数求导的方法和步骤。在求复合函数的导数时，关键是要正确识别出内层函数和外层函数，并分别求出它们的导数，然后应用链式法则进行求导。例题11求函数 $y = \cos(\ln(x))$ 的导数。解：首先，令 $u = \ln x$，则 $y = \cos u$。对 $u$ 求导，得到 $u' = \frac{1}{x}$。对 $y$ 求导，由于 $y$ 是 $u$ 的函数，根据链式法则，有 $y' = -\sin u \cdot u'$。将 $u$ 和 $u'$ 的值代入，得到 $y' = -\sin(\ln x) \cdot \frac{1}{x} = -\frac{\sin(\ln x)}{x}$。例题12求函数 $y = \tan^{-1}(e^x)$ 的导数。解：首先，令 $u = e^x$，则 $y = \tan^{-1} u$。对 $u$ 求导，得到 $u' = e^x$。对 $y$ 求导，由于 $y$ 是 $u$ 的函数，根据链式法则，有 $y' = \frac{1}{1 + u^2} \cdot u'$。将 $u$ 和 $u'$ 的值代入，得到 $y' = \frac{1}{1 + (e^x)^2} \cdot e^x = \frac{e^x}{1 + e^{2x}}$。例题13求函数 $y = \sin^{-1}(\sqrt{x})$ 的导数。解：首先，令 $u = \sqrt{x}$，则 $y = \sin^{-1} u$。对 $u$ 求导，得到 $u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$。对 $y$ 求导，由于 $y$ 是 $u$ 的函数，根据链式法则，有 $y' = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot u'$。将 $u$ 和 $u'$ 的值代入，得到 $y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x(1 - x)}}$。例题14求函数 $y = (x^2 + 1)^3$ 的导数。解：使用链式法则和幂函数求导法则。令 $u = x^2 + 1$，则 $y = u^3$。对 $u$ 求导，得到 $u' = 2x$。对 $y$ 求导，得到 $y' = 3u^2 \cdot u'$。将 $u$ 和 $u'$ 的值代入，得到 $y' = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2$。例题15求函数 $y = \frac{\cos x}{x}$ 的导数。解：使用商式求导法则，$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$。令 $u = \cos x$，$v = x$。对 $u$ 求导，得到 $u' = -\sin x$。对 $v$ 求导，得到 $v' = 1$。代入商式求导法则，得到 $y' = \frac{-\sin x \cdot x - \cos x \cdot 1}{x^2} = \frac{-x\sin x - \cos x}{x^2}$。以上继续了复合函数求导的例题，涵盖了不同形式的复合函数，包括对数函数、反三角函数、平方根函数等。通过这些例题，读者可以加深对复合函数求导的理解和掌握。
