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练习2.12.1.1问题求$\int_{0}^{\pi}x^2\sin x , dx$答案解析首先将$x^2\sin x$进行分解，得到$\frac{d}...

练习2.12.1.1问题求$\int_{0}^{\pi}x^2\sin x , dx$答案解析首先将$x^2\sin x$进行分解，得到$\frac{d}{dx}(x^2\cos x) = 2x\cos x - x^2\sin x$。然后利用分部积分法，得到$\int_{0}^{\pi}x^2\sin x , dx = -\left[\frac{x^3}{3}\cos x\right]{0}^{\pi} + \frac{2}{3}\int{0}^{\pi}x\cos x , dx$。最后求解剩余的积分，得到$\int_{0}^{\pi}x^2\sin x , dx = -\frac{4}{3}$2.1.2问题求$\int_{0}^{1}\frac{1}{x} , dx$答案解析首先确定原函数，得到$F(x) = \ln|x|$。然后计算上下限，得到$\int_{0}^{1}\frac{1}{x} , dx = \ln|x||{0}^{1} = \ln 1 - \ln 0 = 0$。由于$\ln 0$是未定义的，因此这个答案是不准确的。正确的做法是直接计算积分，得到$\int{0}^{1}\frac{1}{x} , dx = -\ln x |_{0}^{1} = -\ln 1 - (-\ln 0) = 0$2.1.3问题求$\int_{0}^{2}\sqrt{4 - x^2} , dx$答案解析首先确定原函数，得到$F(x) = \frac{1}{3}(4 - x^2)^{\frac{3}{2}}$。然后计算上下限，得到$\int_{0}^{2}\sqrt{4 - x^2} , dx = \frac{1}{3}(4 - x^2)^{\frac{3}{2}}|_{0}^{2} = \frac{8}{3}$2.1.4问题求$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 x , dx$答案解析首先利用三角恒等式，将$\sin^2 x$转化为$1 - \cos^2 x$，得到$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 x , dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1 - \cos^2 x) , dx = \left[\frac{x}{2} - \frac{\cos^2 x}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{4}$2.1.5问题求$\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}} , dx$答案解析首先确定原函数，得到$F(x) = 2\sqrt{x}$。然后计算上下限，得到$\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}} , dx = 2\sqrt{x}|_{0}^{1} = 2 - 0 = 2$2.1.6问题求$\int_{0}^{1}x^3 , dx$答案解析首先确定原函数，得到$F(x) = \frac{x^4}{4}$。然后计算上下限，得到$\int_{0}^{1}x^3 , dx = \frac{x^4}{4}|_{0}^{1} = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$练习2.22.2.1问题求$\int_{0}^{1}e^x , dx$答案解析首先确定原函数，得到$F(x) = e^x$。然后计算上下限，得到$\int_{0}^{1}e^x , dx = e^x|_{0}^{1} = e - e^0 = e - 1$