关于函数极限PPT
函数极限的概念在微积分中，函数极限是研究函数在某一点的行为以及函数在定义域的边界上的行为的工具。极限的概念对于理解函数的连续性、导数、积分以及级数等概念都...
函数极限的概念在微积分中，函数极限是研究函数在某一点的行为以及函数在定义域的边界上的行为的工具。极限的概念对于理解函数的连续性、导数、积分以及级数等概念都非常重要。定义：对于函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 的某一去心邻域内有定义，如果当 $x$ 趋近于 $a$ 时，函数值 $f(x)$ 趋近于一个常数 $L$，则称 $f(x)$ 在 $x=a$ 处有极限，且该极限为 $L$，记作 $\lim_{x \to a} f(x) = L$。这里，“趋近”是一个比较模糊的词，具体来说，就是当 $x$ 越来越接近 $a$ 时，$f(x)$ 会越来越接近 $L$。如果我们在考虑数列的极限，那么“趋近”就是指数列的项越来越接近某个数。此外，我们还要引入“$\varepsilon-\delta$ 语言”来更精确地定义函数极限。定义（$\varepsilon-\delta$ 语言）：设 $f(x)$ 在点 $x=a$ 的某一去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在一个正数 $\delta$，使得当 $|x-a| < \delta$ 时， $|f(x)-L| < \varepsilon$，那么我们说 $f(x)$ 在 $x=a$ 处以 $L$ 为极限。这个定义提供了一个明确的方法来检查一个函数在某个点是否收敛，以及它收敛到什么值。如果我们能找到一个 $\delta$ 使得在 $x=a$ 的 $\delta$ 邻域内，函数的值都足够接近 $L$，那么我们就可以说函数在 $x=a$ 处以 $L$ 为极限。极限的性质极限的唯一性如果函数在某点有极限，那么这个极限是唯一的。也就是说，如果 $\lim_{x \to a} f(x) = L_1$ 和 $\lim_{x \to a} f(x) = L_2$，那么 $L_1 = L_2$极限的局部性对于函数在某点的极限，只关心该点附近的函数值。具体来说，如果 $\lim_{x \to a} f(x) = L$，那么对于 $a$ 的任意小的去心邻域内的 $x$，$f(x)$ 都足够接近 $L$四则运算法则如果 $\lim_{x \to a} f(x) = L_1$ 和 $\lim_{x \to a} g(x) = L_2$，那么 $\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L_1 + L_2$，$\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = L_1 - L_2$，$\lim_{x \to a} [f(x) \times g(x)] = L_1 \times L_2$（除非 $g(x) = 0$ 且 $\lim_{x \to a} f(x) \neq 0$），以及 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_1}{L_2}$（除非 $g(x) = 0$ 且 $\lim_{x \to a} f(x) \neq 0$）夹逼定理如果 $f_1(x) \leq f(x) \leq f_2(x)$ 且 $\lim_{x \to a} f_1(x) = \lim_{x \to a} f_2(x) = L$，那么 $\lim_{x \to a} f(x) = L$极限与连续性的关系函数的极限和连续性是紧密相关的。如果函数在某点连续，那么它在该点的极限就是该点的函数值。也就是说，如果 $f(a) = L$，那么 $\lim_{x \to a} f(x) = L$。然而，反过来不一定成立。即，存在在某点有极限但在该点不连续的函数。例如，函数 $f(x) = x^2\sin\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处有极限但不在该点连续这些性质为我们提供了检查函数极限
