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题目一在平面直角坐标系中，点 A(-1, 2), B(3, 4), C(5, -1) 是一个三角形ABC的顶点。求三角形ABC的边长及两个角的余弦值。解答...

题目一在平面直角坐标系中，点 A(-1, 2), B(3, 4), C(5, -1) 是一个三角形ABC的顶点。求三角形ABC的边长及两个角的余弦值。解答：根据两点间距离公式，可以计算出三角形各边的长。设点 A(x1, y1) 和点 B(x2, y2) 是平面直角坐标系中的两点，它们之间的距离为 d，那么：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)根据上述公式，我们可以得到以下结果：A到B的距离 = √((3 - (-1))^2 + (4 - 2)^2) = √(4^2 + 2^2) = √(16 + 4) = √20 = 2√5B到C的距离 = √((5 - 3)^2 + (-1 - 4)^2) = √(2^2 + (-5)^2) = √(4 + 25) = √29C到A的距离 = √((-1 - 5)^2 + (2 - (-1))^2) = √((-6)^2 + 3^2) = √(36 + 9) = √45 = 3√5所以，三角形ABC的边长分别为 2√5、√29 和 3√5。余弦定理可以用于计算任意一个三角形的两个角的余弦值。设三角形的三边长分别为 a、b、c，对应的角为 A、B、C，则余弦定理可以表示为：cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)根据上述公式，我们可以计算出以下结果：cosA = ( (√29)^2 + (3√5)^2 - (2√5)^2 ) / ( 2(√29)(3√5) ) = (29 + 45 - 20) / ( 2√145 ) = 54 / ( 2√145 ) = 27 / √145cosB = ( (2√5)^2 + (3√5)^2 - (√29)^2 ) / ( 2(2√5)(3√5) ) = (20 + 45 - 29) / ( 2√100 ) = 36 / 20 = 9 / 5cosC = ( (2√5)^2 + (√29)^2 - (3√5)^2 ) / ( 2(2√5)(√29) ) = (20 + 29 - 45) / ( 4√145 ) = 4 / ( 4√145 ) = 1 / √145所以，三角形ABC的角A的余弦值为 27 / √145，角B的余弦值为 9 / 5，角C的余弦值为 1 / √145。题目二已知直角三角形 ABC，其中 ∠B = 90度，AC = 5，BC = 12。求角 A 和角 C 的正弦值。解答：根据余弦定理，可以得到：cosA = AC / AB = 5 / 13由于 ∠B = 90度，所以 ∠A + ∠C = 90度。通过求得 ∠A 的余弦值，可以得到 ∠C 的正弦值。sin^2A + cos^2A = 1sinA = √(1 - cos^2A) = √(1 - (5/13)^2) = √(1 - 25/169) = √(144/169) = 12 / 13所以，角 A 的正弦值为 12 / 13。由于 ∠A + ∠C = 90度，可以得到 ∠C = 90度 - ∠A。所以，角 C 的正弦值可以通过以下公式计算：sinC = sin(90度 - A) = cosA = 5 / 13所以，角 C 的正弦值为 5 / 13。通过以上计算，我们得出了角 A 的正弦值为 12 / 13 和角 C 的正弦值为 5 / 13。注：以上解答仅为参考答案，实际解答可能存在不唯一性，且需要根据具体题目的要求进行变化。