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在概率论和统计学中，多维随机变量是一个非常重要的概念。一个$维的随机变量是一个能够取自一个笛卡尔积集的值的随机变量。多维随机变量的定义考虑一个概率空间$\...

在概率论和统计学中，多维随机变量是一个非常重要的概念。一个$维的随机变量是一个能够取自一个笛卡尔积集的值的随机变量。多维随机变量的定义考虑一个概率空间$\Omega$，其上的事件用$\omega$表示。对于每一个$i$，设$X_i$是一个随机变量，定义如下：$$X_i : \Omega \rightarrow R$$如果存在可数个随机变量$X_1, X_2, \ldots, X_n$，使得对于每一个$\omega$，都有：$$(X_1(\omega), X_2(\omega), \ldots, X_n(\omega))$$那么我们称$X_1, X_2, \ldots, X_n$是一个$n$维随机变量。多维随机变量的分布多维随机变量的分布描述了随机变量取值的概率分布情况。对于两个随机变量$X$和$Y$，其联合分布函数是：$$F(x, y) = P(X \leq x, Y \leq y)$$边缘分布函数可以由联合分布函数得出：$F_X(x) = F(x\infty)$$F_Y(y) = F(\inftyy)$多维随机变量的分布可以有多种形式，其中一种是独立分布，即各随机变量之间相互独立。如果$X_1, X_2, \ldots, X_n$是独立的随机变量，那么他们的联合分布函数就是每个边缘分布函数的乘积：$$F(x_1, x_2, \ldots, x_n) = F_1(x_1)F_2(x_2)\ldots F_n(x_n)$$另一种常见的多维随机变量分布是联合正态分布，即所有维度都服从正态分布，且它们之间是统计相关的。对于两个正态分布的随机变量$X$和$Y$，其联合概率密度函数是：$$f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sigma_x\sigma_y\sqrt{1-\rho^2}}e^{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\lbrack(x-\mu_x)^2/(2\sigma^2_x)+(y-\mu_y)^2/(2\sigma^2_y)\rbrack}$$其中$\mu_x,\mu_y,\sigma^2_x,\sigma^2_y$是边缘分布的均值和方差，$\rho$是两个随机变量之间的相关系数。如果$\rho=0$，那么两个随机变量就是独立的。