最速下降法 共轭梯度法PPT
最速下降法与共轭梯度法是两种常用的优化方法，常用于机器学习和深度学习的训练过程中。这两种方法主要的不同在于它们在优化过程中如何计算和更新搜索方向。最速下降...
最速下降法与共轭梯度法是两种常用的优化方法，常用于机器学习和深度学习的训练过程中。这两种方法主要的不同在于它们在优化过程中如何计算和更新搜索方向。最速下降法最速下降法（Gradient Descent）是最早的也是最基本的优化算法之一。其基本思想是沿着梯度的反方向进行搜索，一直迭代到找到最小值点。在最速下降法中，我们只根据当前的梯度方向来决定下一步的搜索方向，因此它的计算量相对较小。但是，在最速下降法中，如果搜索方向与梯度方向不重合，可能会在最小值点附近“之字形”地摆动，需要多次迭代才能找到最小值点。在数学公式中，最速下降法的迭代公式可以表示为：$$x_{new} = x_{old} - \alpha \nabla f(x_{old})$$其中，$\alpha$是学习率（learning rate），$\nabla f(x_{old})$表示函数$f$在$x_{old}$处的梯度。在最速下降法的实际应用中，我们需要不断地调整学习率$\alpha$以加快收敛速度。如果学习率过小，可能需要经过多次迭代才能找到最小值点；如果学习率过大，则可能会跳过最小值点。共轭梯度法共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）是一种改进的最速下降法，它通过在每次迭代时不仅考虑当前的梯度方向，还考虑前一次的梯度方向来提高搜索效率。共轭梯度法的名称来源于其搜索方向的性质：每次的搜索方向与前一次的方向共轭（即它们在向量空间中相互垂直）。共轭梯度法的迭代公式可以表示为：$$x_{new} = x_{old} - \alpha \nabla f(x_{old}) + \beta (x_{old} - x_{old-1})$$其中，$\alpha$和$\beta$是预先设定的参数，$\nabla f(x_{old})$表示函数$f$在$x_{old}$处的梯度，$x_{old-1}$表示上一次迭代的解。在共轭梯度法中，参数$\alpha$和$\beta$对搜索效率和质量都有重要影响。如果$\alpha$和$\beta$选择不当，可能会导致搜索过程缓慢或者无法收敛到最小值点。在实际应用中，通常需要根据问题的性质和经验来选择合适的参数。共轭梯度法相对于最速下降法具有更快的收敛速度，因为它不仅考虑了当前的梯度方向，还考虑了前一次的梯度方向。此外，共轭梯度法还具有更好的数值稳定性，因为它可以避免在最速下降法中可能出现的“之字形”摆动现象。需要注意的是，虽然共轭梯度法具有许多优点，但它不适用于所有问题。例如，如果函数的梯度不满足共轭性质，那么使用共轭梯度法可能会得到错误的结果。因此，在实际应用中需要根据具体问题的性质选择合适的优化方法。除了最速下降法和共轭梯度法之外，还有很多其他的优化方法，例如牛顿法、拟牛顿法、LBFGS方法等等。这些方法各有优缺点，适用于不同的问题和场景。牛顿法是一种基于二阶导数的优化方法，它通过求解海森矩阵（Hessian matrix）来获得搜索方向。牛顿法的优点是收敛速度快，通常比最速下降法和共轭梯度法更快。但是，牛顿法需要计算二阶导数，计算量和存储量都较大，而且还需要解决海森矩阵可能存在奇异的问题。拟牛顿法是一种试图模拟牛顿法的优化方法，它通过引入一些假设来避免直接计算和存储海森矩阵。拟牛顿法的优点是避免了计算和存储海森矩阵的问题，同时保持了类似于牛顿法的收敛速度。但是，拟牛顿法需要选择一些参数，这些参数的选择对搜索效率和质量都有重要影响。LBFGS方法是一种基于梯度和有限内存的优化方法，它通过在内存中存储最近若干次的梯度信息来近似牛顿法的二阶导数计算。LBFGS方法的优点是避免了计算和存储海森矩阵的问题，同时也保持了较快的收敛速度。但是，LBFGS方法需要选择一些参数，如最近若干次梯度信息的数量，这些参数的选择对搜索效率和质量都有重要影响。在实际应用中，需要根据具体问题的性质和要求来选择合适的优化方法。同时，还需要对优化的过程进行监控和调整，例如学习率的选择、收敛条件的设定等等。对于复杂的问题，可能需要结合多种优化方法和技术来获得更好的结果。除了上述的优化方法之外，还有一些其他的优化技巧和方法，例如特征选择、正则化、批量和随机梯度下降等等。特征选择是一种优化模型性能的技巧，它通过选择最重要的特征来减少模型的复杂度和过拟合。特征选择的方法有很多种，例如基于统计量的方法、基于模型的方法和基于搜索的方法等等。特征选择可以有效地减少模型的计算量和存储需求，同时提高模型的泛化能力。正则化是一种控制模型复杂度和减少过拟合的技巧，它通过在损失函数中增加一个与模型复杂度相关的项来惩罚过于复杂的模型。正则化的方法有很多种，例如L1正则化、L2正则化和ElasticNet正则化等等。正则化可以有效地减少模型的复杂度和过拟合，同时提高模型的泛化能力和鲁棒性。批量和随机梯度下降（Batch and Stochastic Gradient Descent）是两种常用的优化算法，它们都基于梯度下降的思想。批量梯度下降算法每次更新都使用整个数据集来计算梯度，而随机梯度下降算法每次更新只使用一个样本来计算梯度。随机梯度下降算法通常比批量梯度下降算法更快，因为它可以更快地访问数据集中的不同样本，但是它也更容易受到噪声和异常值的影响。在实际应用中，需要根据具体问题的性质和要求来选择合适的优化技巧和方法。同时，还需要对优化的过程进行监控和调整，例如学习率的选择、收敛条件的设定等等。对于复杂的问题，可能需要结合多种优化技巧和方法来获得更好的结果。
