最速下降法 共轭梯度法PPT
最速下降法（Gradient Descent）和共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）都是用于求解无约束优化问题的迭代方法。最速...
最速下降法（Gradient Descent）和共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）都是用于求解无约束优化问题的迭代方法。最速下降法最速下降法是一种基于梯度信息的优化算法，其基本思想是沿着梯度的反方向进行搜索，以最快的方式逼近最小值点。在每一次迭代中，最速下降法都会根据当前的梯度和目标函数的值，更新下一次迭代的搜索方向。最速下降法的主要步骤如下：初始化一个初始点 $x_0$ 和一个步长 $\alpha$计算在当前点的梯度 $\nabla f(x_0)$沿着梯度的反方向进行搜索更新搜索方向 $-\nabla f(x_0)$在搜索方向上寻找一个步长 $\alpha$使得 $f(x_0 - \alpha \nabla f(x_0))$ 比 $f(x_0)$ 更小更新当前点 $x_0 \leftarrow x_0 - \alpha \nabla f(x_0)$重复步骤2-5直到满足停止条件（如达到最大迭代次数或目标函数值的改变小于某个给定的阈值）最速下降法的主要优点是简单易行，但它的缺点是在处理一些问题时可能会陷入局部最小值，而且收敛速度相对较慢。共轭梯度法共轭梯度法是一种改进的最速下降法，它通过利用共轭方向来加速搜索过程，以更有效地寻找最小值点。在每一次迭代中，共轭梯度法会根据当前的梯度和目标函数的值，以及前一次迭代的梯度和步长，计算出下一次迭代的搜索方向。共轭梯度法的主要步骤如下：初始化一个初始点 $x_0$ 和一个步长 $\alpha_0$以及一个单位向量 $p_0$计算在当前点的梯度 $\nabla f(x_0)$沿着当前搜索方向 $p_0$ 进行搜索更新搜索方向 $-\nabla f(x_0)$在新的搜索方向上寻找一个步长 $\alpha_1$使得 $f(x_0 - \alpha_1 p_0)$ 比 $f(x_0)$ 更小更新当前点 $x_1 \leftarrow x_0 - \alpha_1 p_0$ 和单位向量 $p_1 \leftarrow \frac{\nabla f(x_1)}{|\nabla f(x_1)|}$重复步骤2-5直到满足停止条件（如达到最大迭代次数或目标函数值的改变小于某个给定的阈值）共轭梯度法的主要优点是在处理一些问题时可以比最速下降法更快地收敛到最小值点，同时避免陷入局部最小值。它的缺点是需要在每次迭代中计算新的单位向量和步长，增加了计算的复杂度。
