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本篇文章将通过引入复化梯形公式来证明积分余项。我们将使用梯形公式作为起点，并通过误差函数来推导和证明积分余项。复化梯形公式首先，我们回顾一下复化梯形公式。假设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $h$ 是此区间的一个分割，那么有：$$\int_a^b f(x)dx \approx h\sum_{i=1}^n f(x_i) + R_n$$其中 $x_i$ 是区间的节点，$h = (b-a)/n$ 是步长，$R_n$ 是余项。引入误差函数为了推导余项 $R_n$，我们引入误差函数。误差函数定义为：$$\varepsilon(x) = \int_0^x f(t)dt - h\sum_{i=1}^{n} f(x_i)$$现在，我们可以表示余项 $R_n$ 为：$$R_n = \int_a^b \varepsilon(x)dx$$误差函数的性质误差函数具有以下性质：$\varepsilon(x)$ 在每个子区间 $[x_{i-1}x_i]$ 上都是 $O(h^{2})$ 的，即：$$\varepsilon(x) = O(h^{2}), \quad x \in [x_{i-1}, x_i]$$在节点 $x_i$ 处误差函数的一阶导数为：$$\varepsilon^{\prime}(x_i) = f(x_i) - \frac{h}{2}f^{\prime}(x_i) + O(h^{2})$$在整个区间 $[ab]$ 上，误差函数的总和为：$$\int_a^b \varepsilon(x)dx = O(h^{2})$$积分余项的推导和证明利用误差函数及其性质，我们可以推导和证明积分余项。首先，我们计算误差函数在区间 $[a, b]$ 上的积分：$$\int_a^b \varepsilon(x)dx = \int_a^b \left(\int_0^x f(t)dt - h\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\right)dx$$通过分部积分和化简，我们得到：$$\int_a^b \varepsilon(x)dx = \left[ x\int_0^x f(t)dt - h\sum_{i=1}^{n} x_if(x_i)\right]{a}^{b} - \int_a^b xf(x)dx - h\sum{i=1}^{n} f(x_i)\cdot (b-a) + O(h^{2})$$然后，我们使用梯形公式来近似上述表达式中的积分部分：$$\int_a^b xf(x)dx \approx h\sum_{i=1}^{n} \frac{b-a}{2}f(x_i) + R_{n1} = \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{n} f(x_i) + R_{n1} + O(h^{2})$$