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函数的极值函数的极值是函数在某点附近的小范围内达到的最大或最小值。极值的计算通常通过求导数来找到可能的临界点，然后通过二阶导数来判断这些点是极大值点还是极...

函数的极值函数的极值是函数在某点附近的小范围内达到的最大或最小值。极值的计算通常通过求导数来找到可能的临界点，然后通过二阶导数来判断这些点是极大值点还是极小值点。极值的定义设$f(x)$在点$x_{0}$的附近有定义，如果对于任意$x$满足$x_{0} - \delta < x < x_{0} + \delta$，都有$f(x) \leq f(x_{0})$（或$f(x) \geq f(x_{0})$），则称$f(x)$在点$x_{0}$处达到极小值（或极大值）极值定理设函数$f(x)$在点$x_{0}$处可导，且在$x_{0}$处取得极值，则必有$f^{\prime}(x_{0}) = 0$判断极值点函数$f(x)$的一阶导数$f^{\prime}(x)$在某点的值为零，并不能判断该点是否为极值点。还需要进一步考虑二阶导数$f^{\prime\prime}(x)$在该点的取值情况。如果$f^{\prime\prime}(x) > 0$，则该点是极小值点；如果$f^{\prime\prime}(x) < 0$，则该点是极大值点例如，考虑函数$f(x) = x^{3}$，其导数为$f^{\prime}(x) = 3x^{2}$。当$x = 0$时，一阶导数为零，但二阶导数$f^{\prime\prime}(x) = 6x > 0$，因此该点是极小值点。函数的极大值与极小值函数的极大值与极小值是函数在某一点处达到的最大值和最小值。一个函数在一个区间内可能有一个或多个极大值或极小值，也可能没有。极大值的定义设函数$f(x)$在区间$(a,b)$中连续，如果对于任意$x \in (a,b)$，都有$f(x) \leq f(x_{0})$，且在$(a,b)$中除了$x_{0}$以外的其他点上都不满足这个不等式，则称$f(x)$在点$x_{0}$处达到极大值极小值的定义设函数$f(x)$在区间$(a,b)$中连续，如果对于任意$x \in (a,b)$，都有$f(x) \geq f(x_{0})$，且在$(a,b)$中除了$x_{0}$以外的其他点上都不满足这个不等式，则称$f(x)$在点$x_{0}$处达到极小值判断极大值与极小值通过求导数可以找到可能的临界点，然后通过二阶导数来判断这些点是极大值点还是极小值点。如果函数在某一点的二阶导数为正，则该点是极小值点；如果二阶导数为负，则该点是极大值点。如果一个函数在整个区间上都是单调的，那么它在这个区间上没有极值点极值的必要条件如果函数$f(x)$在点$x_{0}$处取得极值，那么必有$f^{\prime}(x_{0}) = 0$。但反过来并不成立，即如果$f^{\prime}(x_{0}) = 0$，并不意味着$f(x)$在点$x_{0}$处取得极值