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线段的垂直平分线是几何学中的重要概念。一条线段的中垂线是过这条线段两个端点且与这条线段垂直的直线。下面我们将详细介绍线段垂直平分线的性质和定理。定义与性质...

线段的垂直平分线是几何学中的重要概念。一条线段的中垂线是过这条线段两个端点且与这条线段垂直的直线。下面我们将详细介绍线段垂直平分线的性质和定理。定义与性质定义线段的中垂线是过这条线段两个端点且与这条线段垂直的直线点的中垂线是过这个点且与给定线段垂直的直线性质中垂线的性质中垂线上的点到两端点的距离相等垂直平分线的性质垂直平分线上的点到两端点的距离相等，且与原线段垂直三角形中垂线的性质三角形三边的中垂线交于一点，这个点称为三角形的外心三角形外心的性质外心到三角形三个顶点的距离相等圆的性质过圆心且与给定弦垂直的直线必与弦的中垂线相交平行线的性质平行线的中垂线互相平行等腰三角形的性质等腰三角形的中垂线平分底边且垂直于底边梯形的性质梯形的中垂线平分对角线且垂直于对角线定理与证明定理1：线段的中垂线定理如果P为线段AB的中垂线上任意一点，则有PA²=PB²+PA²。证明：设AB的中点为M，则有AM=BM。因为M，P，B三点共线，所以有PM=PB。又因为AP=AM+PM，所以有AP=BM+PB=PB+PB=2PB。因此，PA²=4PB²，结论得证。定理2：点的中垂线定理如果P为直线AB上一点，则有PA²+PB²=2PO²。证明：设O为AB的中点，则有OA=OB。因为P在AB上，所以有PO⊥AB。根据勾股定理，有OP²+PA²=AO²和OP²+PB²=BO²。两式相加，得2OP²+PA²+PB²=AO²+BO²=AB²。因为2OP²=PO²+PO²，所以有PA²+PB²=2PO²，结论得证。定理3：三角形中垂线定理三角形三边的中垂线交于一点，这个点称为三角形的外心。证明：设三角形ABC的三边AB，BC和CA的中垂线分别交于点D，E和F。因为AD=DB，BE=EC和CF=FA，所以有DE//AB和EF//BC。因此，DE和EF是三角形的中位线。根据中位线的性质，有DE=AB/2和EF=BC/2。又因为DE=EF，所以有DE=CF/2。因此，DE//CF且DE=CF。根据平行四边形的性质，四边形DECF是平行四边形。因为DF是平行四边形DECF的对角线，所以有DE//CF//DF且DE=CF=DF。因此，三角形ABC的三边中垂线交于一点D，结论得证。