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幂函数的概念与性质幂函数的定义首先，我们介绍幂函数的概念。幂函数是以非零实数$x$为自变量，$a$为常数，$a$的$x$次方为因变量的一种特殊的函数。例如，$y = x^{2}$、$y = \frac{1}{x}$等都是幂函数。幂函数的性质非零性对于任何实数$x$，除了0之外，都有$x^{0} = 1$正值性当$x > 0$时，$x^{n} > 0$（$n$为正整数）奇偶性当$n$为奇数时，$y = x^{n}$是奇函数；当$n$为偶数时，$y = x^{n}$是偶函数变化性当$n > 0$时，$y = x^{n}$随着$x$的增大而增大；当$n < 0$时，$y = x^{n}$随着$x$的增大而减小极值性当$n < 0$时，在$( - \infty,0)$上有一个极大值点，在$(0, + \infty)$上有一个极小值点这些性质是幂函数的基本特性，对于理解幂函数的图像和变化规律具有重要意义。幂函数的图像与变化规律幂函数的图像对于不同指数的幂函数，其图像有不同的形状和变化规律。例如，当$a > 1$时，幂函数$y = x^{a}$的图像在第一象限是递增的；当$0 < a < 1$时，幂函数$y = x^{a}$的图像在第一象限是递减的。幂函数的变化规律递增与递减当指数大于1时，幂函数递增；当指数小于1时，幂函数递减水平渐近线当指数为负数时，幂函数有水平渐近线。例如，对于函数$y = \frac{1}{x}$，其水平渐近线为$y = 0$垂直渐近线当指数为正奇数时，幂函数有垂直渐近线。例如，对于函数$y = x^{3}$，其垂直渐近线为$x = 0$极值点当指数为负数时，幂函数有极值点。例如，对于函数$y = x^{-2}$，其在$( - \infty,0)$上有一个极大值点，在$(0, + \infty)$上有一个极小值点跨轴对称当指数为正偶数时，幂函数关于y轴对称；当指数为正奇数时，幂函数关于原点对称。例如，函数$y=x^{2n}$和$y=(x-a)^{2n}$关于y轴对称；函数$y=x^{2n+1}$和$y=(x-a)^{2n+1}$关于原点对称周期性当指数是正分数时，幂函数不具有周期性；当指数是正整数时