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定义和公式首先，让我们回顾一下函数最值的概念。对于一个函数$f(x)$，如果在区间$[a, b]$上，存在一个数$m$，使得对于所有$x \in [a, ...

定义和公式首先，让我们回顾一下函数最值的概念。对于一个函数$f(x)$，如果在区间$[a, b]$上，存在一个数$m$，使得对于所有$x \in [a, b]$，都有$f(x) \leq m$，那么我们称$m$为函数$f(x)$在区间$[a, b]$上的上界。同样地，如果在区间$[a, b]$上，存在一个数$M$，使得对于所有$x \in [a, b]$，都有$f(x) \geq M$，那么我们称$M$为函数$f(x)$在区间$[a, b]$下的下界。特别地，如果函数在区间内是单调的，那么最值就是函数在该区间的端点取到的值。对于一个二次函数$f(x) = ax^{2} + bx + c$，它的最值可以通过下面的公式来计算：当$a > 0$时函数的最小值点为$\frac{-b}{2a}$，最小值为$f\left(\frac{-b}{2a}\right) = \frac{-b^{2} + 4ac}{4a}$当$a < 0$时函数的最小值点为$\frac{-b}{2a}$，最大值为$f\left(\frac{-b}{2a}\right) = \frac{-b^{2} + 4ac}{4a}$例题解析现在我们来看一个具体的例题。例题：求函数$f(x) = x^{2} - 4x + 1$在区间$[1, 5]$上的最值。解题步骤首先我们观察到函数$f(x) = x^{2} - 4x + 1$是一个二次函数，它的开口向上我们知道二次函数的对称轴是$x = -\frac{b}{2a}$在这个例子中，$a = 1, b = -4$，所以对称轴是$x = 2$由于对称轴在区间$[15]$内，因此最小值应该在对称轴处取得，即当$x = 2$时。代入公式得到最小值为：$f(2) = (-4)^{2} - 4 \times 1 \times 2 + 1 = -7$最大值应该在区间的端点处取得因为二次函数在区间内是单调递增的。所以最大值是：$f(5) = 5^{2} - 4 \times 5 + 1 = 6$结论所以，函数$f(x) = x^{2} - 4x + 1$在区间$[1, 5]$上的最小值为-7，最大值为6。### 解题思路&问题建模在这个问题中，我们要求一个二次函数在给定区间上的最值。首先，我们需要理解二次函数的基本性质，特别是它的对称轴和单调性。然后，我们可以利用这些性质来确定最值的位置。对于二次函数$f(x) = ax^{2} + bx + c$，如果$a > 0$那么函数在区间$(-\infty, -\frac{b}{2a})$上是单调递减的，在区间$(-\frac{b}{2a}, +\infty)$上是单调递增的如果$a < 0$那么函数在区间$(-\infty, -\frac{b}{2a})$上是单调递增的，在区间$(-\frac{b}{2a}, +\infty)$上是单调递减的对于这个例题，我们可以看到$a = 1 > 0$，所以函数$f(x) = x^{2} - 4x + 1$在区间$(-\infty, 2)$上是单调递减的，而在区间$(2, +\infty)$上是单调递增的。因此，最小值应该在对称轴处取得，即当$x = 2$时。而最大值应该在区间的端点处取得，因为在这个区间内，函数是单调递增的。反思与拓展通过这个例题，我们可以看到如何利用二次函数的性质来求最值。在实际应用中，我们还可以使用其他方法，例如利用导数来确定函数的单调性和极值点。此外，对于其他类型的函数，例如三角函数、指数函数等，求最值的方法会有所不同。因此，我们需要掌握各种函数的性质，以便能够正确地求出最值。