无穷小的概念及性质；怎样区别无穷小；无穷小的比较；高阶，低阶，同阶，等阶无穷小的定义及判定；利用等价无穷小计算极限PPT

无穷小的概念及性质在数学中，无穷小是一个非常重要的概念，尤其在微积分学中。它描述的是当一个数趋近于零时，其值是如此的小，以至于任何与它相关的运算或比较都可...

无穷小的概念及性质在数学中，无穷小是一个非常重要的概念，尤其在微积分学中。它描述的是当一个数趋近于零时，其值是如此的小，以至于任何与它相关的运算或比较都可以忽略不计。定义：如果对于任意正数ε，无论它多么小，总存在一个正数δ，使得当|x - x0| < δ时，有|f(x)| < ε，那么我们称函数f(x)在x0处为无穷小。在本质上，无穷小量是一种特殊的极限，即当某函数或变量趋近于某个点或无穷时，其值趋近于零，但永远不会达到零。性质：无穷小量不是一个数而是一个量（或者说是函数）无穷小量具有动态的定义即随着位置的变化，无穷小量也会发生变化无穷小量在运算中具有“消失”的特性即两个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量无穷小量在运算中有时可以替换为0这种替换称为等价无穷小替换怎样区别无穷小无穷小是一个函数或变量在其极限点附近的性质，而不是一个具体的数值。换句话说，它是一个过程，而不是一个结果。因此，要区别无穷小，我们需要查看函数或变量在接近某个点或无穷时的行为。例如，考虑函数f(x) = x^2。当x趋近于0时，f(x)的值趋近于0。在这种情况下，我们说f(x)在x=0处是无穷小。无穷小的比较在微积分中，我们经常需要比较不同无穷小的阶数。这可以帮助我们了解在特定情况下哪个无穷小会“更快地趋于0”。定义：如果存在正数K和x0，使得当x > x0时，有|f(x)| < K|g(x)|，则我们称f(x)是g(x)的高阶无穷小，记作f(x) = o(g(x))。如果f(x)是g(x)的高阶无穷小，那么意味着当x趋近于某个点或无穷时，f(x)比g(x)更快地趋于0。例如，考虑函数f(x) = x^3和g(x) = x^2。当x趋近于0时，有|f(x)| / |g(x)| = x。这意味着当x趋近于0时，f(x)比g(x)更快地趋于0。因此，我们可以说f(x)是g(x)的高阶无穷小。高阶，低阶，同阶，等阶无穷小的定义及判定高阶无穷小如果lim(f(x)/g(x))=0，则称f(x)是g(x)的高阶无穷小。这表示f(x)在某点或无穷远的邻域内比g(x)更快地趋于0。例如前面提到的例子中，f(x)=o(g(x))^3就是高阶的。 .lim(f(x)/g(x))=0的含义是:无论对于任意小的正数e，总能找到一个正数X使得当x>X时，|f(x)/g(x)|<e恒成立.因此当分子比分母同阶时,分子和分母的极限相同;分子比分母高阶时,分子比分母的极限为0;分子比分母低阶时,分子比分母的极限不存在. .因此,判断高阶、低阶的标准是看分子和分母的极限是否同时存在,同时存在则是同阶,否则就是高阶或低阶. 例如: .lim((2x+1)/(3x+2))=lim((2/3)x+1/3)/(x+2/3)=2/3,lim((2-1/n)/(3-1/n))=lim((2-1/n)/(3-1/n))=(2-0)/(3-0)=2/3,这两个极限都存在,所以它们是同阶的. .lim((2-1/n)/(3x+