无穷小的概念及比较PPT

无穷小的概念在数学中，无穷小是一个非常重要的概念，它是极限理论的基础。无穷小指的是一个数列或者函数，在其趋于某一点或者无穷的过程中，其值趋向于0。例如，考...

无穷小的概念在数学中，无穷小是一个非常重要的概念，它是极限理论的基础。无穷小指的是一个数列或者函数，在其趋于某一点或者无穷的过程中，其值趋向于0。例如，考虑数列 $1, 1/2, 1/4, 1/8, \ldots$。这个数列的后一项是前一项的一半，所以当项数趋向无穷时，数列的每一项都趋向于0。这样的数列就是一个无穷小。在函数上，无穷小的概念也是类似的。考虑函数 $f(x) = x^2$。当$x$趋向于0时，$f(x)$的值趋向于0。也就是说，$f(x)$在$x=0$处是一个无穷小。要注意的是，无穷小不是一个具体的数字，而是一个趋势或者性质。它描述的是当一个数列或者函数的变化量趋向于无穷小时，其值趋向于0。无穷小的比较在数学中，我们经常需要比较两个无穷小的关系。这通常是通过求它们的比值或者差值来实现的。如果比值或者差值趋向于一个非零常数，我们就说这两个无穷小是等价的。例如，考虑数列 $1, 1/3, 1/9, 1/27, \ldots$ 和 $2, 2/3, 2/9, 2/27, \ldots$。这两数列都是无穷小，但它们的比值趋向于 0 和 2 两个不同的常数。因此，这两个无穷小不是等价的。对于函数 $f(x) = x^2$ 和 $g(x) = 2x^2$，当 x 趋向于 0 时，$f(x)$ 和 g(x) 都趋向于 0。但是 g(x) 的速度是 f(x) 的两倍。因此，尽管它们都趋向于0，但它们不是等价的无穷小。等价的无穷小在微积分中非常重要，因为它们在求极限、导数和积分时可以互相替换。因此，了解如何比较无穷小是微积分学习的重要部分。等价无穷小在求极限、导数和积分的过程中，我们经常需要使用等价无穷小替换复杂的表达式，从而简化计算。等价无穷小指的是在一定条件下，无穷小的比值趋向于1的无穷小。例如，对于函数 $f(x) = sin x$ 和 $g(x) = x$，当 x 趋向于 0 时，$f(x)/g(x)$ 的值趋向于 1。因此，在求极限、导数和积分时，我们可以用 x 来替换 sin x（在求极限和导数时需要注意变量的范围），从而简化计算。常用的等价无穷小包括：当趋向于时当趋向于时当趋向于时当趋向于时当趋向于时（为正整数）