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柯西极限存在准则，又称柯西收敛准则，是用来判断某个式子是否收敛的充要条件（不限于数列），主要应用在以下方面：数列、数项级数、函数、反常积分、函数列和函数项...

柯西极限存在准则，又称柯西收敛准则，是用来判断某个式子是否收敛的充要条件（不限于数列），主要应用在以下方面：数列、数项级数、函数、反常积分、函数列和函数项级数每个方面都对应一个柯西准则，因此下文将按照不同的方面对准则进行说明。数列数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有一正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε成立。数项级数对于数项级数，柯西极限存在准则表述如下：一个数项级数收敛的充要条件是：对任意给定的ε>0，有一正整数N，使得当n>N时，所有项的绝对值都小于ε。也就是说，从第N项开始，每一项的绝对值都小于ε。函数对于函数f(x)，如果存在一个常数A，使得对任意x属于定义域D，都有|f(x)-A|<ε，则称f(x)在D上收敛于A。柯西极限存在准则在这里表述如下：如果f(x)在D上收敛于A，则对任意给定的ε>0，都存在一个正整数N，使得当x>N时，都有|f(x)-A|<ε。反常积分对于反常积分，柯西极限存在准则表述如下：一个反常积分收敛的充要条件是：对任意给定的ε>0，有一正数c<b（其中b是积分的上限），使得当a<t<c时，积分的值小于ε。也就是说，积分从a到c的值趋近于0。函数列和函数项级数对于函数列和函数项级数，柯西极限存在准则表述如下：如果存在一个常数A，使得对任意x属于定义域D，都有|fn(x)-A|<ε（对任意n都成立），则称函数列{fn(x)}在D上收敛于A。同样地，如果存在一个常数A，使得对任意x属于定义域D，都有|Un(x)-A|<ε（对任意n都成立），则称函数项级数Un(x)在D上收敛于A。这里的n是自然数。