数学极限PPT
数学极限是数学基础的一个重要概念，包括极限的引入、定义和性质等方面。极限的引入极限的引入源于对变量变化趋势的研究。在实际生活中，很多现象都可以通过变量来描...
数学极限是数学基础的一个重要概念，包括极限的引入、定义和性质等方面。极限的引入极限的引入源于对变量变化趋势的研究。在实际生活中，很多现象都可以通过变量来描述，例如时间、路程、质量等等。当这些变量发生变化时，人们通常会关心它们的变化趋势，例如在某个时刻它们的变化速度是快还是慢，它们会无限接近某个值还是保持在一个范围内波动等等。极限的概念可以帮助我们刻画变量在无限变化过程中的变化趋势，从而更好地理解变量的性质和行为。极限的定义极限的定义可以分为两种：数列的极限和函数的极限。数列是一种由数组成的序列，例如 $1,2,3,\ldots,n,\ldots$。数列的极限是指当数列中的项无限增加时，数列的值无限接近的一个数。数列的极限定义如下：给定数列 ${a_n}$ 和一个数 $L$，如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$，都存在一个正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，$|a_n-L|<\varepsilon$ 成立，那么我们就称数列 ${a_n}$ 收敛于 $L$，或者说 $L$ 是数列 ${a_n}$ 的极限。例如，${1/\sqrt{n}}$ 是收敛数列，因为当 $n$ 趋于无穷大时，$1/\sqrt{n}$ 趋于 $0$。函数的极限是指当自变量无限趋近某个值时，函数值无限接近的一个数。函数的极限定义如下：给定函数 $f(x)$ 和一个数 $L$，如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$，都存在一个正数 $\delta$，使得当 $|x-x_0|<\delta$ 时，$|f(x)-L|<\varepsilon$ 成立，那么我们就称函数 $f(x)$ 当 $x\rightarrow x_0$ 时收敛于 $L$，或者说 $L$ 是函数 $f(x)$ 当 $x\rightarrow x_0$ 时的极限。例如，$f(x)=1/x$ 当 $x\rightarrow 0$ 时收敛于 $L=0$，因为当 $x$ 趋于 $0$ 时，$1/x$ 趋于无穷大。极限的性质极限的性质是极限理论中的重要内容，包括以下几点：唯一性如果一个函数存在极限，那么这个极限是唯一的。也就是说，如果 $L_1$ 和 $L_2$ 都满足当 $x\rightarrow x_0$ 时 $f(x)$ 收敛于它们，那么就有 $L_1=L_2$可达到性如果一个函数当 $x\rightarrow x_0$ 时收敛于某个数 $L$，那么对于任意给定的正数 $\varepsilon$，都存在一个正数 $\delta$，使得当 $|x-x_0|<\delta$ 时就有 $|f(x)-L|<\varepsilon$ 成立。换句话说，如果一个函数有极限 $L$，那么这个极限是可以达到的保号性如果函数 $f(x)$ 当 $x\rightarrow x_0$ 时有非零的极限，那么在零点附近函数值的符号保持不变。换句话说，如果 $f(x)$ 当 $x\rightarrow x_0$ 时收敛于非零的 $L$，那么在零点附近函数值要么都为正要么都为负。这个性质可以用来证明一些重要的定理和不等式局部有界性如果函数 $f(x)$ 当 $x\rightarrow x_0$ 时有极限 $L$，那么在零点附近函数值是有界的。换句话说，如果 $f(x)$ 当 $x\rightarrow x_0$ 时收敛于 $L$，那么在零点附近函数值不会是无理数次方或者类似的东西。这个性质可以用来证明一些重要的定理和不等式
