抽象代数PPT
抽象代数是数学的一个分支，主要研究代数学中的一些抽象概念和结构，如群、环、域等。下面我们将分几个部分介绍抽象代数的基本概念和主要内容。群定义群是一个代数结...
抽象代数是数学的一个分支，主要研究代数学中的一些抽象概念和结构，如群、环、域等。下面我们将分几个部分介绍抽象代数的基本概念和主要内容。群定义群是一个代数结构，由一个集合和一个在该集合上定义的二元运算组成，满足以下四个性质：封闭性对于任意的$a,b\in G$，有$a\cdot b\in G$结合律对于任意的$a,b,c\in G$，有$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$单位元存在存在一个元素$e\in G$，使得对于任意的$a\in G$，有$e\cdot a=a\cdot e=a$逆元存在对于任意的$a\in G$，存在一个元素$a^{-1}\in G$，使得$a\cdot a^{-1}=e$例子整数加法群$\mathbb{Z}$：集合为整数$\mathbb{Z}$，二元运算是加法$+：\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$，满足封闭性、结合律、单位元$0$和逆元$-a$。矩阵乘法群$GL(n,\mathbb{R})$：集合为可逆矩阵$n\times n$，二元运算是矩阵乘法，满足封闭性、结合律、单位元$I_n$和逆元$A^{-1}$。环定义环是一个代数结构，由一个集合和一个在该集合上定义的二元运算组成，满足以下性质：封闭性对于任意的$a,b\in R$，有$a\cdot b\in R$结合律对于任意的$a,b,c\in R$，有$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$单位元存在存在一个元素$e\in R$，使得对于任意的$a\in R$，有$e\cdot a=a\cdot e=a$逆元存在对于任意的$a\in R$，存在一个元素$a^{-1}\in R$，使得$a\cdot a^{-1}=e=a^{-1}\cdot a$例子整数加法环$\mathbb{Z}$：集合为整数$\mathbb{Z}$，二元运算是加法$+：\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$，满足封闭性、结合律、单位元$0$和逆元$-a$。多项式环$\mathbb{R}[x]$：集合为多项式，二元运算是加法和乘法，满足封闭性、结合律、单位元（常数多项式）和逆元（除以多项式的余式）。域定义域是一个代数结构，由一个集合和一个在该集合上定义的二元运算组成，满足以下性质：封闭性对于任意的$a,b\in F$，有$a\cdot b\in F$结合律对于任意的$a,b,c\in F$，有$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$单位元存在存在一个元素$e\in F$，使得对于任意的$a\in F$，有$e\cdot a=a\cdot e=a$逆元存在对于任意的非零元素$a\in F^{\times}$，存在一个元素 $a^{-1}\in F^{\times}$，使得 $a \cdot a^{-1}=e= a^{-1} \cdot a 。 $5. 非零因子乘法逆元唯一:如果 $ a \cdot f = e = f \cdot a $ 对某个非零元素 $f \in F^{\times}$ 成 立,那么这就意味着 $f = a^{-1}$ 对于某个非零元素 $f \in F^{\times} $成立。特别的,每一个非零元素 $ a \in F^{\times}$都有一个唯一的乘法逆元 $ a^{-1} \in F^{\times} $非零因子乘法逆元可分设 $F^{\times} \ni f=p r i n c i p u l a r p r
