线性代数第一章第二节行列式的性质与与计算PPT

行列式的定义行列式（Determinant）是线性代数中的一个基本概念，通常用于描述方阵的某些性质。对于n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)。1....

行列式的定义行列式（Determinant）是线性代数中的一个基本概念，通常用于描述方阵的某些性质。对于n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)。1.1 二阶行列式二阶行列式是最简单的行列式，形如：$$\left| \begin{array}{cc}a & b \c & d \\end{array} \right| = ad - bc$$1.2 三阶行列式三阶行列式稍微复杂一些，其展开形式如下：$$\left| \begin{array}{ccc}a & b & c \d & e & f \g & h & i \\end{array} \right| = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$$行列式的性质行列式具有一系列重要的性质，这些性质在行列式的计算和应用中发挥着关键作用。2.1 性质1：行列式与它的转置行列式相等对于任何n阶方阵A，有|AT| = |A|。2.2 性质2：交换行列式的两行（列），行列式变号如果方阵A的两行（或两列）互换，则|A|变号。2.3 性质3：行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式即如果A的某一行（或列）的元素都乘以k，则|kA| = k|A|。2.4 性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零如果A中有两行（或列）的元素成比例，则|A| = 0。2.5 性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和即如果A的某一行（或列）可以表示为两个向量之和，则|A|等于这两个向量对应行列式之和。2.6 性质6：行列式展开法则（拉普拉斯展开）行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。行列式的计算行列式的计算通常遵循一些基本步骤和策略。3.1 化简行列式首先尝试通过性质2、3、4和5来化简行列式，使其更易于计算。例如，如果行列式中有零行或成比例的行，可以直接得出行列式的值为零。3.2 三角行列式如果通过行变换可以将行列式化为上三角或下三角形式，则行列式的值就是主对角线上元素的乘积。3.3 递推公式对于某些特殊类型的行列式（如范德蒙德行列式），可以使用递推公式来计算。3.4 代数余子式法对于较复杂的行列式，可以使用代数余子式法（拉普拉斯展开）来计算。这种方法通常涉及到递归和组合数的计算。3.5 计算器或软件辅助对于大型或复杂的行列式，可以使用计算器或数学软件（如MATLAB、Python的NumPy库等）来辅助计算。总结行列式是线性代数中的一个重要概念，它不仅是方阵的一个重要属性，而且在解决线性方程组、计算矩阵的逆、判断矩阵的秩以及计算特征值等问题中都发挥着重要作用。熟练掌握行列式的性质和计算方法，对于后续的学习和应用至关重要。