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圆锥曲线是平面几何中的一类重要曲线，具有一些重要的几何性质。以下是一些主要性质：圆锥曲线的定义椭圆平面上，一个动点$P$在垂直于一个定点$F$且与定直线$...

圆锥曲线是平面几何中的一类重要曲线，具有一些重要的几何性质。以下是一些主要性质：圆锥曲线的定义椭圆平面上，一个动点$P$在垂直于一个定点$F$且与定直线$l$的距离相等的轨迹是圆锥曲线，定点$F$称为焦点，定直线$l$称为准线双曲线平面上，一个动点$P$到两个定点$F_{1}$和$F_{2}$的距离之差的绝对值等于常数$2a(a > 0)$的轨迹是双曲线。定点$F_{1}$和$F_{2}$称为焦点，双曲线中点的轨迹是两条以$F_{1}$和$F_{2}$为焦点的椭圆抛物线平面上，一个定点到一个定直线的距离等于常数$p(p > 0)$的点的轨迹是抛物线。定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线圆锥曲线的方程椭圆中心在原点$(0,0)$，焦点在$x$轴上时，方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a > b > 0)$；焦点在$y$轴上时，方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a > b > 0)$双曲线中心在原点$(0,0)$，焦点在$x$轴上时，方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a > 0, b > 0)$；焦点在$y$轴上时，方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a > 0, b > 0)$抛物线开口向右或向左时，方程为$y^{2} = 2px(p > 0)$；开口向上或向下时，方程为$x^{2} = 2py(p > 0)$圆锥曲线的性质圆锥曲线的对称性椭圆关于$x$轴、$y$轴和原点都对称双曲线关于$x$轴、$y$轴和原点都对称抛物线只关于原点对称圆锥曲线的范围椭圆$x^{2} + y^{2} \leq a^{2}b^{2}$双曲线$x^{2} + y^{2} \geq a^{2}b^{2}$抛物线$y \geq \pm 2p或x \geq \pm 2p$圆锥曲线的离心率椭圆$e = \sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}}$双曲线$e = \sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}}} - 1 < 1$抛物线$e = 1$圆锥曲线的焦点半径椭圆当点在椭圆上时，从焦点到椭圆上一点的距离等于半长轴；当点在椭圆内时，从焦点到椭圆上一点的距离小于半长轴；当点在椭圆外时，从焦点到椭圆上一点的距离大于半长轴双曲线当点在双曲线上时，从焦点到双曲线上一点的距离等于半实轴；当点在双曲线内时，从焦点到双曲线上一点的距离小于半实轴；当点在双曲线外时，从焦点到双曲线上一点的距离大于半实轴抛物线从焦点到抛物线上一点的距离等于其准线的纵坐标圆锥曲线的焦半径椭圆以椭圆上一点与椭圆的两个焦点的连线为直径的圆叫做椭圆的焦半径。椭圆的焦半径垂直于长轴所在直线。椭圆焦半径公式: r = a