中考数学一次函数一轮复习PPT
引言一次函数是初中数学中的重要内容之一，也是中考数学中的必考知识点。一次函数的一般形式为$y = kx + b$（其中$k \neq 0$），其中$x$是...
引言一次函数是初中数学中的重要内容之一，也是中考数学中的必考知识点。一次函数的一般形式为$y = kx + b$（其中$k \neq 0$），其中$x$是自变量，$y$是因变量，$k$是斜率，$b$是截距。一次函数描述了自变量和因变量之间的线性关系，具有广泛的应用。知识点梳理1. 一次函数的概念定义形如$y = kx + b$（其中$k \neq 0$）的函数称为一次函数斜率$k$表示一次函数的斜率，表示函数图像的倾斜程度截距$b$表示一次函数与$y$轴的交点，即当$x = 0$时，$y$的值2. 一次函数的图像图像形状一次函数的图像是一条直线图像位置由斜率和截距共同决定图像变化当$k > 0$时，图像从左到右上升；当$k < 0$时，图像从左到右下降3. 一次函数的性质增减性当$k > 0$时，函数随$x$的增大而增大；当$k < 0$时，函数随$x$的增大而减小对称性一次函数图像关于点$(-\frac{b}{k}, 0)$中心对称平行性如果两个一次函数的斜率相等，则它们的图像平行4. 一次函数的应用实际问题一次函数常用于描述实际问题中的线性关系，如速度、时间和距离的关系等图像法求解可以通过绘制一次函数的图像来求解相关问题典型例题解析例题1：求一次函数的解析式已知一次函数图像经过点$(1, 2)$和点$(3, 4)$，求该一次函数的解析式。解析：设一次函数解析式为$y = kx + b$。根据已知条件，将点$(1, 2)$和点$(3, 4)$分别代入解析式，得到以下方程组：$$\left{\begin{array}{l}k \cdot 1 + b = 2 \k \cdot 3 + b = 4 \\end{array}\right.$$解这个方程组，得到：$$\left{\begin{array}{l}k = 1 \b = 1 \\end{array}\right.$$因此，该一次函数的解析式为$y = x + 1$。例题2：一次函数与坐标轴的交点求一次函数$y = -2x + 4$与坐标轴的交点坐标。解析：求与$x$轴的交点令$y = 0$，解得$x = 2$，所以与$x$轴的交点坐标为$(2, 0)$求与$y$轴的交点令$x = 0$，解得$y = 4$，所以与$y$轴的交点坐标为$(0, 4)$例题3：一次函数的应用题某商店销售一种商品，每件商品的进价为$10$元，售价为$15$元。如果该商店每天销售该商品的数量$x$（单位：件）与销售价格$p$（单位：元/件）之间的关系为$p = -0.2x + 20$，求该商店每天销售该商品所获得的利润$w$（单位：元）与销售数量$x$之间的函数关系式。解析：首先计算单件商品的利润$p - 10$然后计算总利润$w = (p - 10) \times x$将$p = -0.2x + 20$代入上式得到：$w = (-0.2x + 20 - 10) \times x = -0.2x^2 + 10x$练习题求一次函数$y = 3x - 2$与$x$轴的交点坐标若一次函数$y = (m - 1)x + 2m + 1$的图像经过原点求$m$的值已知一次函数$y = 2x + b$的图像与$y$轴的交点坐标为$(0-3)$，求该函数的解析式某地电话拨号上网有两种收费方式用户可任选其一：A. 计时制：0.05元/分钟；B. 包月制：50元/月（限一部个人住宅电话上网）．此外，每种上网方式都得加收通信费0.02元/分钟．(1) 某用户某月上网的时间为$x$小时，请你分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；(2) 若某用户估计一个月上网时间为20小时，你认为采用哪种方式较为合算？已知一次函数$y = (2m + 1)x + m - 3$(1) 若函数图像经过原点，求$m$的值；(2) 若函数图像与$y$轴的交点在$x$轴下方，且$y$随$x$的增大而减小，求$m$的取值范围某公司2019年获得利润500万元由于坚持改革、大胆创新，预计以后每年的利润都比上一年增加30%，则2019年至2025年该公司获得的总利润为 _______ 万元．某汽车销售公司2019年盈利5000万元由于坚持改革、大胆创新，预计以后每年的盈利都比上一年增长14%，则2019年至2025年该公司获得的总盈利为 _______ 万元．练习题解析练习题1解析求一次函数$y = 3x - 2$与$x$轴的交点坐标，即求$y = 0$时的$x$值。将$y = 0$代入$y = 3x - 2$，得$0 = 3x - 2$，解得$x = \frac{2}{3}$。所以，一次函数$y = 3x - 2$与$x$轴的交点坐标为$\left(\frac{2}{3}, 0\right)$。练习题2解析若一次函数$y = (m - 1)x + 2m + 1$的图像经过原点，即当$x = 0, y = 0$时，函数成立。代入得$0 = (m - 1) \cdot 0 + 2m + 1$，解得$m = -\frac{1}{2}$。练习题3解析已知一次函数$y = 2x + b$的图像与$y$轴的交点坐标为$(0, -3)$，即当$x = 0$时，$y = -3$。代入得$-3 = 2 \cdot 0 + b$，解得$b = -3$。所以，该函数的解析式为$y = 2x - 3$。练习题4解析(1) 对于A方式，费用为$0.05x \times 60 + 0.02x \times 60 = 4.2x$元（$x$为小时数）。对于B方式，费用为$50 + 0.02x \times 60 = 50 + 1.2x$元。(2) 当$x = 20$时，A方式的费用为$4.2 \times 20 = 84$元，B方式的费用为$50 + 1.2 \times 20 = 74$元。因为$74 < 84$，所以B方式较为合算。练习题5解析(1) 若函数图像经过原点，即当$x = 0, y = 0$时，函数成立。代入得$0 = (2m + 1) \cdot 0 + m - 3$，解得$m = 3$。(2) 若函数图像与$y$轴的交点在$x$轴下方，即当$x = 0$时，$y < 0$。代入得$y = m - 3 < 0$，解得$m < 3$。又因为$y$随$x$的增大而减小，所以斜率$2m + 1 < 0$，解得$m < -\frac{1}{2}$。综合以上两个条件，得$m$的取值范围为$m < -\frac{1}{2}$。练习题6解析设从2019年开始，每年的利润构成一个等比数列${ a_n }$，其中首项$a_1 = 500$万元，公比$q = 1 + 30% = 1.3$。从2019年至2025年共7年，所以总利润$S_7$为等比数列的前7项和，即$$S_7 = \frac{a_1(1 - q^7)}{1 - q} = \frac{500(1 - 1.3^7)}{1 - 1.3}$$通过计算可得总利润的具体数值。练习题7解析设从2019年开始，每年的盈利构成一个等比数列${ b_n }$，其中首项$b_1 = 5000$万元，公比$q = 1 + 14% = 1.14$。从2019年至2025年共7年，所以总盈利$T_7$为等比数列的前7项和，即$$T_7 = \frac{b_1(1 - q^7)}{1 - q} = \frac{5000(1 - 1.14^7)}{1 - 1.14}$$通过计算可得总盈利的具体数值。总结一次函数是初中数学中的基础概念，通过对其概念和性质的深入理解，以及大量练习题的训练，学生可以熟练掌握一次函数的求解方法和应用技巧。在实际生活中，一次函数也有着广泛的应用，例如在经济学中用于描述成本、收入、利润等的变化规律。因此，学好一次函数对于提高学生的数学素养和解决实际问题的能力都具有重要意义。附录等比数列前$n$项和公式$$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$$其中，$a_1$是首项，$q$是公比，$n$是项数。当$q = 1$时，$S_n = na_1$。等比数列通项公式$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$其中，$a_n$是第$n$项，$a_1$是首项，$q$是公比，$n$是项数。中考数学一次函数一轮复习（续）附录：等比数列前n项和公式和通项公式$$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$$其中，$a_1$ 是首项，$q$ 是公比，$n$ 是项数。当公比 $q = 1$ 时，$S_n = na_1$。$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$其中，$a_n$ 是第 $n$ 项，$a_1$ 是首项，$q$ 是公比，$n$ 是项数。练习题8解析某商店销售一种商品其进价与售价之间的关系为一次函数关系。已知进价为 $10$ 元时，售价为 $15$ 元；进价为 $12$ 元时，售价为 $16$ 元。求该商品的进价与售价之间的一次函数关系式解析：设进价与售价之间的一次函数关系式为 $y = kx + b$。根据题目条件，当进价 $x = 10$ 时，售价 $y = 15$；当进价 $x = 12$ 时，售价 $y = 16$。代入这两个点到一次函数关系式中，得到方程组：$$\left{\begin{array}{l}10k + b = 15 \12k + b = 16\end{array}\right.$$解这个方程组，得到：$$\left{\begin{array}{l}k = \frac{1}{2} \b = 10\end{array}\right.$$因此，该商品的进价与售价之间的一次函数关系式为 $y = \frac{1}{2}x + 10$。练习题9解析某地出租车收费标准如下起步价 $5$ 元（包含 $3$ 公里），超过 $3$ 公里后，每公里收费 $1.2$ 元。求乘客应支付的车费 $y$（单位：元）与乘车距离 $x$（单位：公里）之间的函数关系式，并指出自变量 $x$ 的取值范围解析：根据收费标准，当乘车距离 $x \leq 3$ 时，车费 $y = 5$ 元；当乘车距离 $x > 3$ 时，车费由起步价和超出部分的费用组成，即 $y = 5 + 1.2(x - 3)$。因此，乘客应支付的车费 $y$ 与乘车距离 $x$ 之间的函数关系式为：$$y = \left{\begin{array}{ll}5, & \text{如果 } x \leq 3 \5 + 1.2(x - 3), & \text{如果 } x > 3\end{array}\right.$$自变量 $x$ 的取值范围为 $x \geq 0$，因为距离不能为负数。练习题10解析某工厂生产某种产品固定成本为 $20000$ 元，每生产一件产品需要增加成本 $10$ 元。如果每件产品的售价为 $50$ 元，求该工厂的总利润 $y$（单位：元）与生产量 $x$（单位：件）之间的函数关系式，并指出自变量 $x$ 的取值范围解析：总利润 $y$ 由总收入减去总成本得到。总收入由每件产品的售价和生产量决定，即 $50x$ 元；总成本由固定成本和变动成本组成，即 $20000 + 10x$ 元。因此，总利润 $y$ 与生产量 $x$ 之间的函数关系式为：$$y = 50x - (20000 + 10x) = 40x - 20000$$自变量 $x$ 的取值范围为非负整数，因为生产量不能为负数，且必须是整数件。结语通过对一次函数的深入学习和大量练习，学生们不仅能够掌握一次函数的基本概念和性质，还能够灵活运用一次函数解决实际问题。一次函数在实际生活中有着广泛的应用，如经济学中的成本、收入、利润分析，物理学中的匀速直线运动等。因此，学好一次函数对于提高学生们的数学素养和解决实际
