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基本不等式是数学中的一个重要概念，它描述了实数之间的一些基本关系。这些不等式在日常生活、科学研究以及工程应用中都有广泛的应用。平均值不等式对于任意n个正实...

基本不等式是数学中的一个重要概念，它描述了实数之间的一些基本关系。这些不等式在日常生活、科学研究以及工程应用中都有广泛的应用。平均值不等式对于任意n个正实数$a_1, a_2, ..., a_n$，算术平均值总是大于等于几何平均值，即：$$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}$$当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$时，等号成立。柯西-施瓦茨不等式对于任意两组实数$a_1, a_2, ..., a_n$和$b_1, b_2, ..., b_n$，都有：$$(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2$$当且仅当存在实数k，使得$a_i = kb_i$（i=1,2,...,n）时，等号成立。切比雪夫不等式对于任意实数序列$a_1, a_2, ..., a_n$，若$m$和$M$分别表示该序列的最小值和最大值，则对于任意实数$x$，有：$$\frac{\text{个数 of } a_i \geq x}{n} \geq \frac{M - x}{M - m}$$和$$\frac{\text{个数 of } a_i \leq x}{n} \geq \frac{x - m}{M - m}$$赫尔德不等式对于任意实数序列$a_1, a_2, ..., a_n$和$b_1, b_2, ..., b_n$，以及任意正整数$p$和$q$，满足$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，则有：$$\left|\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right| \leq \left(\sum_{i=1}^{n} |a_i|^p\right)^{\frac{1}{p}} \left(\sum_{i=1}^{n} |b_i|^q\right)^{\frac{1}{q}}$$当且仅当存在非零实数k，使得$|a_i|^p = k|b_i|^q$（i=1,2,...,n）时，等号成立。以上只是基本不等式中的几个例子，不等式在数学中的应用非常广泛，是研究函数性质、求解极值、证明定理等数学问题的重要工具。