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在多元函数中，复合微分法是一种非常重要的求导方法。这种方法主要用于处理复合函数，即一个函数的自变量是另一个函数的输出。通过复合微分法，我们可以方便地求出复...

在多元函数中，复合微分法是一种非常重要的求导方法。这种方法主要用于处理复合函数，即一个函数的自变量是另一个函数的输出。通过复合微分法，我们可以方便地求出复合函数的导数。基本概念1. 多元函数多元函数是指有多个自变量的函数，形如$f(x, y, z, \ldots)$。在多元函数中，导数的概念扩展为偏导数，表示函数关于某一个自变量的导数。例如，对于函数$f(x, y)$，$\frac{\partial f}{\partial x}$表示函数关于$x$的偏导数。2. 复合函数复合函数是指一个函数的自变量是另一个函数的输出。例如，如果$u = g(x, y)$和$f = f(u)$，那么$f$通过$u$依赖于$x$和$y$，即$f = f(g(x, y))$是一个复合函数。3. 链式法则在复合函数中，链式法则是求导的基本法则。对于复合函数$f(g(x))$，其导数可以通过链式法则求出：$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$。这个法则在多元函数中同样适用。多元函数复合微分法1. 基本公式设$z = f(u, v)$，且$u = \varphi(x, y)$，$v = \psi(x, y)$，则复合函数$z = f[\varphi(x, y), \psi(x, y)]$的偏导数可以通过以下公式求出：$$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial \psi}{\partial x}$$$$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial \psi}{\partial y}$$这些公式是多元函数复合微分法的基本公式，它们将复合函数的偏导数表示为各个自变量的偏导数的线性组合。2. 推导过程以$\frac{\partial z}{\partial x}$为例，推导过程如下：$$\begin{align*}\frac{\partial z}{\partial x} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f[\varphi(x + \Delta x, y), \psi(x + \Delta x, y)] - f[\varphi(x, y), \psi(x, y)]}{\Delta x} \&= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f[\varphi(x, y) + \Delta u, \psi(x, y) + \Delta v] - f[\varphi(x, y), \psi(x, y)]}{\Delta x} \&= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta z}{\Delta x} \&= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta z}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta z}{\Delta v} \cdot \frac{\Delta v}{\Delta x} \&= \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial \varphi}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial \psi}{\partial x}\end{align*}$$其中，$\Delta u = \varphi(x + \Delta x, y) - \varphi(x, y)$，$\Delta v = \psi(x + \Delta x, y) - \psi(x, y)$，$\Delta z = f[\varphi(x + \Delta x, y), \psi(x + \Delta x, y)] - f[\varphi(x, y), \psi(x, y)]$。3. 应用举例设$z = \sin(xy)$，求$\frac{\partial z}{\partial x}$。解：首先，令$u = xy$，则$z = \sin u$。对于$u$，有$\frac{\partial u}{\partial x} = y$。对于$z$，有$\frac{\partial z}{\partial u} = \cos u$。根据链式法则，有：$$\frac{\partial z}{\partial x